昨天有朋友问PCA算法的一些细节问题，今天就写一篇PCA的文章，主要讲述PCA的整个过程以及其中的一些细节问题。

一、PCA过程

1、计算每一个维度的平均值，然后对每一个样本取值减去其对应维度的平均值，一般情况下还应该进行归一化。如下图：

原始数据

减去均值后的数据

2、求特征协方差矩阵

对于一个3维数据对应的协方差矩阵

3、协方差的特征值和特征向量

4、将特征值按照从大到小的顺序排序，选择其中最大的k个（降维到K维），然后将其对应的k个特征向量分别作为列向量组成特征向量矩阵。

5、将原始样本数据投影到选取的特征向量上。

比如：假设样本数为m，特征数为n，减去均值后的样本矩阵为DataAdjust(m*n)，协方差矩阵是n*n，选取的k个特征向量组成的矩阵为EigenVectors(n*k)。那么投影后的数据FinalData为

那么，问题就来了，为什么协方差矩阵前K个特征值对应的方差就是最大的呢？，这就是方差最大理论了。

二、PCA理论基础

在信号处理中认为信号具有较大的方差，噪声有较小的方差，信噪比就是信号与噪声的方差比，越大越好。赝本在那个维度的的投影方差较小，那么认为那个维度的投影是由噪声引起的。因此我们认为，最好的k维特征是将n维样本点转换为k维后，每一维上的样本方差都很大。

比如下图有5个样本点：（已经做过预处理，均值为0，特征方差归一）

下面将样本投影到某一维上，这里用一条过原点的直线表示（前处理的过程实质是将原点移到样本点的中心点）。

假设我们选择两条不同的直线做投影，那么左右两条中哪个好呢？根据我们之前的方差最大化理论，左边的好，因为投影后的样本点之间方差大一些。

关于样本点投影的概念，通过下图可以明白。

u是一个单位向量，也就是说u向量决定我的样本按照哪个方向映射，这时候方差才大。

由于原始数据已经是0均值的了，因此经过映射之后也是0均值的

我们只需要对协方差矩阵进行特征值分解，得到的前k大特征值对应的特征向量就是最佳的k维新特征，而且这k维新特征是正交的。得到前k个u以后，样例xi通过以下变换可以得到新的样本。

中间那部分很熟悉啊，不就是样本特征的协方差矩阵么xi的均值为0，上式可以改写为

由于u是单位向量，即

上式两边都左乘u得，

即

这不就是说明方差最大的方向就是按前K个特征值对应的特征向量映射的方向吗。